在数学教学和数学教育领域，数学知识、数学方法、数学思想是数学知识体系的三个层次，它们相互联系，共同发展。数学知识是数学思想方法解决问题所依附的材料;数学方法是解决问题的手段和途径，是数学思想发展的前提;数学思想是对数学对象的本质认识，是从某些具体的数学内容(概念、命题、定理)和数学认识过程中提炼出来的基本观点和想法，是数学方法的灵魂，是解决问题的指导思想，对数学活动具有指导意义。数学思想和数学方法是紧密联系的，数学思想方法通常从“数学思想”和“数学方法”两个角度进行阐述。以下是朴新小编给大家带来了不等式证明的高等数学方法研究。
比较法：这是一种证明不等式的最基本的方法，具体有“作差法”和“作商法”两种。此法表现了简化了思路方法，其基本证明思路是把难以比较的式子变成其差与0比较，或者其商与1比较。通常状况下，若求证的不等式两头是分式时，常用作差法;若求证的不等式两头是乘积方式或幂指数方式时，常用作商法来比较。
归纳法：由已知条件出发，凭借某些现已证明过的不等式和不等式的性质及其有关定力，根据逐渐的逻辑推理，处处所要证明的不等式建立。此法的特点是“由因导果”，即从“已知”看“已知”。
研究法：研究法是用研究证明，“若A则B”这个问题模式是：欲证B的真，只需证明B1的真，然后又……，只需证明A为真，故B真。可见研究法是拿果索因，步步寻求上一步建立的充分条件。这即是假定不等式建立，然后运用不等式的基本条件，逐渐推演，变形，最终得到一个简单显着建立或已证明建立的不等式;而推证又可逆，我们就能够断定不等式建立，这种方法是我们证明不等式的基本方法之一。
换元法：这是一种使很多实践问题处理中化难为易，化繁为简的方法，有些问题直接证明较为困难，若根据换元的方法去解则很简便，常用于条件不等式的证明，常见的是“三角换元法”和“比值换元法”。
利用拉格朗日中值定理证明不等式：拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a )。例1.证明：x>0时，有x>ln(x+1)证明：设f(x)=ln(x+1) ，显然函数f(x) 在区间[0，x] 上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理的条件有：f(x)-f(0)=f’(ξ)(x-0 )，其中0<ξ 由于f(0)=0，f’(x)=，则上式即为f(x)=，又因为0<ξ 所以就有 注：利用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是根据所给不等式，选取或构造适当的辅助函数f(x)和区间(a，b)，通过ξ的范围，根据导函数f’(x)确定f’(ξ)和分式的范围，从而得证。
利用函数的单调性证明不等式：函数单调性的判定定理：设函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，那么：(1)如果f?(x)>0，则f(x)在区间[a，b]上单调增加;(2)f?(x)<0，则f(x)在区间[a，b]上单调减少。例2.证明：x>0时，1+>证明：令f(x)=，则f?(x)==，因为f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内f?(x)>0，因此f(x)在[0，+∞)上单调增加。从而当x>0时，f(x)>f(0)。由于f(0)=0，故f(x)>f(0)=0。即>0，亦即1+>。注：运用函数的单调性证明不等式，关键在于合理地利用题设条件，构造出相应的辅助函数f(x)，将原问题等价代换，根据导数f?(x)的符号判定函数f(x)在所给区间上的单调性，从而导出所证不等式。
函数凹凸性的定义：设f(x)在[a，b]上连续，若对[a，b]中任意两点x1，x2，恒有f((x1+x2)/2)≥f(x1)+f(x2)/2，则称f(x)在[a，b]上是凸函数;若恒有f((x1+x2)/2)≤f(x1)+f(x2)/2，则称f(x)在[a，b]上是凹函数。函数凹凸性的判定定理：设f(x)在[a，b]上连续，在区间(a，b)内有二阶导数，(1)如果在区间(a，b)内，(x)>0，那么曲线y=f(x)在[a，b]内是凹的;(2)如果在区间(a，b)内，(x)<0，那么曲线y=f(x)在[a，b]内是凸的。
用高等数学的相关知识来证明不等式的方法比较多，除上述为大家介绍的几种方法之外，还有用积分中值定理、函数的极值等有关知识，以及积分不等式、柯西施瓦茨不等式等已经知道的重要不等式来证明不等式的方法。总而言之，因为不等式的题型特殊，证明方法灵活多变，想要真正掌握不等式的证明，不但要有广泛的数学知识和一定的方法技巧，而且要在学习实践过程中多练习，多思考，多归纳。
利用函数单调性 ：此方法关键是根据题设条件构造合理的辅助函数，将不等式证明转化为比较两个函数值的大小。 例1?证明不等式ex>1+x，x≠0 证明：设f(x)=ex-1-x，则f'(x)=ex-1.故当x>0时，f'(x)>0，f(x)严格递增;当x<0，f'(x)<0，f(x)严格递减.又因为在x=0处连续，则当x≠0时，f(x)>f(0)=0从而得到ex>1+x，x≠0
利用函数的极值和最值 ：当给定的不等式是具体的函数，且又给出自变量的变化范围，欲证明它大于或是小于某个定数，这时往往利用函数的极值和最值来证明不等式。 例2 当x≥0时，证明nxn-1-(n-1)xn-1≤0(n>0，n∈N). 证明：令f(x)=nxn-1-(n-1)xn-1，则f'(x)=n(n-1)xn-2-n(n-1)xn-1=n(n-1)xn-2(1-x).令f'(x)=0，得驻点x=1(因为x=0 是x≥0的端点，所以x=0不是驻点)且当x<1时，f'(x)>0;当x>1时，f'(x)<0，所以f(1)=0是极大值也是最大值.从而得f(x)≤f(1)=0(x≥0)，即nxn-1-(n-1)xn-1≤0(x≥0)。
利用函数的凹凸性：当所求证的不等式中出现了形如f■，■的式子时，我们可以考虑根据函数凹凸性的一些性质来证明。 例3 己知：α<0，β<0，α3+β3≤2求证：α+β≤2。 证明：设函数f(x)=x3，x∈(0，+∞)，则f'(x)=3x2。f''(x)=6x>0.由引理可知：函数f(x)=x3，x∈(0，+∞)是凹函数。设a1=a2=■，x1=α，x2=β，则f(a1x1+a2x2)=f(■α+■β)=f■≤a1f(x1)+a2f(x2)=■，而f■=■■，且由已知得到■=■≤1，所以■=f■≤■≤1.故有α+β≤2.
利用微分中值定理：微分中值定理将函数与导数有机地联系起来，如果所求证不等式经过简单变形后，与微分中值公式的结构有相似性，就可以考虑利用微分中值定理来证明，其关键是构造一个辅助函数，然后通过微分中值定理的公式证明。
