常用的小学数学思想方法

数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想的理论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法;而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。因此，二者是有密切联系的。我们把二者合称为数学思想方法。今天，就给大家带来常用的小学数学思想方法。

在小学数学教学中渗透数学思想方法的途径

(1)备课：研读教材、明确目标、设计预案，挖掘数学思想方法 “凡事预则立，不预则废”。如果课前教师对教材内容的教学适合渗透哪些思想方法一无所知，那么课堂教学就不可能有的放矢。受篇幅的限制，教材内容较多显示的是数学结论，对数学结论里面所隐含的数学思想方法以及数学思维活动的过程，并没有在教材里明显地体现。因此教师在备课时，不应只见直接写在教材上的数学基础知识与技能，而是要进一步钻研教材，创造性地使用教材，挖掘隐含在教材中的数学思想方法，并在教学目标中明确写出渗透哪些数学思想方法，并设计数学活动落实在教学预设的各个环节中，实现数学思想方法有机地融合在数学知识的形成过程中，使教材呈现的知识技能这条明线与隐含的思想方法的暗线同时延展。

(2)上课：创设情境、建立模型、解释应用，渗透数学思想方法数学是知识与思想方法的有机结合，没有不包含数学思想方法的数学知识，也没有游离于数学知识之外的数学思想方法。这就要求教师在课堂教学中，在揭示数学知识的形成过程中渗透数学思想方法，在教给学生数学知识的同时，也获得数学思想方法上的点化。教师积极地在课堂中渗透数学思想方法，体现了教师在教学中的大智慧，也为学生的学习开辟了一个广阔的新天地。不同的教学内容，不同的课型，可据其不同特点，恰当地渗透数学思想方法。

(3)应用阶段——在活动中强化在小学高年段，对一些学生熟悉的数学思想方法需要经常性地予以强化，使学生不仅知道用什么和怎么用，并在此基础上逐步学会灵活应用。比如数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想等。这些基本数学思想贯穿于整个小学阶段，是最重要、最常用的，是小学数学的精髓，对人的影响也最大，比如“转化(即化归)”思想，到了六年级学习“圆的面积计算”时，学生通过类比，会提出应该将圆转化为会计算面积的长方形、平行四边形、三角形、或梯形来推导它的面积计算公式，从而再进一步引导学生去切拼、去找出图形之间的关系来推导计算公式。之后学习圆柱、圆锥的体积计算公式时再次运用转化思想来推导，学生对“转化”的思想方法的认识不断得以提升。

1.分类讨论思想的概念。人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”。其分类规则和解题步骤是：(1)根据研究的需要确定同一分类标准;(2)恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗的说就是要做到“既不重复又不遗漏”;(3)逐类逐级进行讨论;(4)综合概括、归纳得出最后结论。

分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究;同时也是数学领域问题较常用的思想方法。

2.分类讨论思想的重要意义。《课程标准》在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这些特殊的思考方法。因此，分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思维品质的一种重要而有效的方法。无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到全面地思考和解决问题。

从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地分类学习，既可以把我全局、又能够由表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。分类讨论思想与集合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想。另外，分类讨论思想还是概率与统计知识的重要基础。

3.分类讨论思想的具体应用。分类讨论思想在小学数学的学习中有很多应用，例如从宏观的方面而言，小学数学可以分为数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合应用四大领域。从比较具体的知识来说，几大领域的知识又有很多分支，例如小学数学的认知范围实际上是在有理数范围内，有理数可以分为整数和分数，整数又可以分为正整数、零、和负整数、整数根据它的整除性又可以分为偶数和奇数。正整数又可以分为1、素数和合数。

数学的发现和发展过程，也是一个应用的过程。从这个角度而言，伴随着数学知识的产生和发展，数学模型实际上也随后产生和发展了。如自然数系统1，2，3，…是描述离散数量的数学模型。2000多年前的古人用公式计算土地面积，用方程解决实际问题等，实际上都是用各种数学知识建立数学模型来解决问题的。就小学数学的应用来说，大多数是古老的初等数学的简单应用，也许在数学家的眼里，这根本就不是真正的数学模型;不过，小学数学的应用虽然简单，但仍然是现实生活和进一步学习所不可或缺的。

第一，学习的过程可以经历类似于数学家建模的再创造过程。现实生活中已有的数学模型基本上是数学家和物理学家等科学家们把数学应用于各个科学领域经过艰辛的研究创造出来的，使得我们能够享受现有的成果。如阿基米德发现了杠杆定律：平衡的杠杆，物体到杠杆支点的距离之比，等于两个物体重量的反比，即F1：F2=L2：L1。根据课程标准的理念，学生的学习过程有时是一个探索的过程，也是一个再创造的过程;也就是说有些模型是可以由学生进行再创造的，可以把科学家发明的成果再创造一次。如在学习了反比例关系以后，可以利用简单的学具进行操作实验，探索杠杆定律。再如利用若干个相同的小正方体拼摆成一个长方体，探索长方体中含有小正方体的个数与长方体的长、宽、高的关系，进而归纳出长方体的体积公式，建立模型V=abc，这是一个模型化的过程，也是一个再创造的过程。

第二，应用已有的数学知识分析数量关系和空间形式，经过抽象建立模型，进而解决各种问题。学生学习了教材上的基础知识以后，利用已有知识解决新的更加复杂的各种问题，是一个富有挑战的过程，也可以是一个合作探究的过程。如小学生奥林匹克数学竞赛中有很多应用数学解决的问题，就是一个建立模型的过程;再如中学生和大学生组队参加数学建模大赛，就是一个团队合作探究的过程。

第三，对于大多数人来说，在现实生活和工作中利用数学解决各种问题，基本上都是根据对现实情境的分析，利用已有的数学知识构建模型。这样的模型是已经存在并且是科学的，并不是新发明的，由学生进行再创造也几乎是不可行的;换句话说，有些模型由于难度较大或不便于探索，不必让学生再创造。如两个变量成反比例关系，如果给出两个量数据变化的表格，学生通过观察和计算有可能发现这两个量的关系。但是如果让学生动手实践操作去发现规律，还是有一定难度的。再如物体运动的路程、时间和速度的关系为s=vt，利用这个基本模型可以解决各种有关匀速运动的简单的实际问题。但是由于这个模型比较抽象，操作难度较大，因而也不适合学生进行再创造。教师只需要通过现实模拟或者动画模拟，使学生能够理解模型的意义便可。

(1)在数的认识中体会有限与无限的思想。小学生从一年级开始就认识自然数0，1，2，3，…同时知道每个自然数加1就等于它的后继数。到了认识亿以内的数时，进一步知道了最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。也就是说，任意给定一个足够大的自然数N，只需要把它加1就会得到一个更大的自然数N+1，N+1>N，所以总是找不到一个最大的自然数，从而体会到自然数数列的无限多和趋向无穷大。由此可以推广到奇数、偶数、一个数的倍数、两个数的公倍数等都没有最大的，都有无限多个。在学习分数的基本性质时，学生知道分母不同、分数值相等的分数有无限多个。在学习小数时，首先认识的是有限小数，然后认识无限循环小数，还知道圆周率是无限不循环小数。

(2)在认识图形时渗透无限的思想。与自然数数列的趋向于无穷大类似，有些图形也具有无限长的特性，如直线、射线、角的边、平行线等，都具有无限延伸的特性，可以渗透无限的思想。

(3)在数的计算中体会极限思想。小学数学学习的数的计算一般都是经过有限的几步计算就可以解决的问题，另外，作为知识的拓展，可适当介绍一些无限多个数相加的问题，如在数形结合思想中曾经介绍了无穷多个分数相加的问题，本文不再赘述。我国古代思想家庄子曾说过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话可用下面的数学语言来描述“长度为单位1的线段，第一天取走全长的一半，以后每天取走剩下的一半，永远有剩余”，用无穷等比递缩数列的和来表示取走的长度，就是数形结合思想中的案例。另外，循环小数化分数的问题，也可以利用极限思想和数形结合思想来计算。

(4)在圆的面积、圆柱的体积的计算中渗透极限思想。

如上所述，在小学数学中，圆的面积不能象求长方形的面积那样直接利用公式计算、圆柱的体积不能象长方体那样直接利用公式计算，利用极限思想可以解决这些问题。如圆的面积的计算，先把圆平均分成若干等份，拼成近似的长方形，但它还不是长方形，仍然无法直接按照求长方形面积的方法来求;因为把一个圆不论进行怎样细小的有限次的分割拼补，都无法真正拼成一个长方形;这时只有借助极限思想，把圆分割的越细小所拼成的图形就越接近于长方形,可以这样无限地分下去，拼成的图形面积就越趋向于长方形的面积，最后通过取极限来得到它的面积。也就是说，极限思想是这样操作的理论基础和计算精确性的保证，也是极限思想在小学数学中最完美的体现。